GN⁺: 컨볼루션, 고속 푸리에 변환 및 다항식 (2022)

(alvarorevuelta.com)

다항식, 고속 푸리에 변환 및 컨볼루션

다항식: 간단한 요약

다항식 (P(x))는 각 항이 변수 (x)와 지수 (k) 및 계수 (a_k)로 구성된 항들의 합임
예: (P(x) = 5x^2 + 2x + 9)
두 다항식 (P(x))와 (Q(x))를 더하거나 빼는 것은 각 항을 개별적으로 더하거나 빼는 것임

Python 코드 예시:

# a + b
[a + b for a, b in zip(p, q)]
# a - b
[a - b for a, b in zip(p, q)]

컨볼루션

컨볼루션은 두 신호 (p)와 (q)의 합성임
예: (p = [2, 3, 4]), (q = [5, 6, 7])
컨볼루션 계산:
```
y = [10, 27, 52, 45, 28]
```
다항식 곱셈은 컨볼루션으로 표현될 수 있음

푸리에 변환과 FFT

푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 강력한 도구임
푸리에 변환(FT), 이산 푸리에 변환(DFT), 고속 푸리에 변환(FFT)의 차이점:
- FT: 연속 신호에 대한 푸리에 변환
- DFT: 이산 신호에 대한 푸리에 변환
- FFT: DFT를 효율적으로 계산하는 알고리즘 ((O(n \log n)))

다항식 곱셈을 더 빠르게

고등학교에서 배운 다항식 곱셈은 (O(n^2)) 복잡도를 가짐
더 효율적인 방법:
1. 다항식을 주파수 영역으로 변환 ((O(n \log n)))
2. 주파수 영역에서 곱셈 수행 ((O(n)))
3. 결과를 다시 시간 영역으로 변환 ((O(n \log n)))

Python 코드 예시:

def multiply_naive(p, q):
    result_size = len(p) + len(q) - 1
    result = [0] * result_size
    for i in range(len(p)):
        for j in range(len(q)):
            result[i + j] += p[i] * q[j]
    return result

def multiply_fft(p, q):
    length = 2 ** np.ceil(np.log2(len(p) + len(q) - 1)).astype(int)
    f_padded = np.pad(p, (0, length - len(p)))
    g_padded = np.pad(q, (0, length - len(q)))
    Y = np.fft.fft(f_padded) * np.fft.fft(g_padded)
    result_coefficients = np.round(np.fft.ifft(Y).real).astype(int)
    return np.trim_zeros(result_coefficients, 'b').tolist()

요약

다항식 곱셈의 기본 방법은 (O(n^2)) 복잡도를 가짐
다항식 곱셈은 컨볼루션으로 표현될 수 있음
시간 영역의 컨볼루션은 주파수 영역의 곱셈과 동일함
FFT를 사용하여 다항식을 주파수 영역으로 변환하면 (O(n \log n)) 복잡도로 다항식을 곱할 수 있음

GN⁺의 의견

이 글은 다항식 곱셈의 효율성을 높이는 방법을 설명하며, 특히 고속 푸리에 변환(FFT)의 중요성을 강조함
고등학교에서 배운 기본적인 방법보다 훨씬 효율적임을 보여줌
이 기술은 신호 처리, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 유용하게 사용될 수 있음
FFT를 사용하면 큰 다항식의 곱셈을 빠르게 수행할 수 있어, 대규모 데이터 처리에 유리함
유사한 기능을 가진 다른 프로젝트로는 NumPy, SciPy 등이 있음